**I. Mở đầu**

Tập hợp số hữu tỉ, ký hiệu là ℚ, là một cấu trúc toán học cơ bản được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như đại số, giải tích và hình học. Nó bao gồm tất cả các số có thể biểu diễn dưới dạng phân số m/n, trong đó m và n là các số nguyên và n ≠ 0.

**II. Phép toán trên tập hợp số hữu tỉ**

Tập hợp số hữu tỉ được trang bị các phép toán cơ bản bao gồm phép cộng, trừ, nhân và chia. Những phép toán này có tính chất tương tự như các phép toán trên tập hợp số tự nhiên.

**1. Phép cộng và phép trừ**

Để cộng hoặc trừ hai số hữu tỉ m/n và p/q, chúng ta có thể sử dụng phép nhân chéo:

```

m/n + p/q = (mq + np)/nq

m/n - p/q = (mq - np)/nq

```

**2. Phép nhân**

Để nhân hai số hữu tỉ m/n và p/q, chúng ta có thể nhân các tử số và mẫu số của chúng:

```

m/n * p/q = (mp)/(nq)

```

**3. Phép chia**

Để chia số hữu tỉ m/n cho số hữu tỉ khác 0 p/q, chúng ta có thể nhân m/n với nghịch đảo của p/q, là q/p:

```

m/n ÷ p/q = (m/n) * (q/p) = (mq)/(np)

```

**III. Tính chất của tập hợp số hữu tỉ**

Tập hợp số hữu tỉ có một số tính chất quan trọng, bao gồm:

**1. Tính đóng**

Tập hợp số hữu tỉ đóng dưới các phép toán cộng, trừ, nhân và chia. Điều này có nghĩa là kết quả của bất kỳ phép toán nào giữa hai số hữu tỉ cũng là một số hữu tỉ.

**2. Tính trù mật**

Mọi số hữu tỉ đều có thể được xấp xỉ bằng một số thập phân vô hạn tuần hoàn hoặc vô hạn không tuần hoàn. Điều này có nghĩa là tập hợp số hữu tỉ là trù mật trong tập hợp số thực.

**3. Tính tuần hoàn**

Mọi số hữu tỉ có thể được viết dưới dạng một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Điều này có nghĩa là tập hợp số hữu tỉ có thể được chia thành các lớp tương đương, trong đó các số trong mỗi lớp có cùng phần thập phân vô hạn.

**IV. Một số ứng dụng của tập hợp số hữu tỉ**

Tập hợp số hữu tỉ có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống, chẳng hạn như:

**1. Trong tài chính**

Tập hợp số hữu tỉ được sử dụng để mô tả giá cả, tỷ giá hối đoái và các khái niệm tài chính khác.

**2. Trong khoa học**

Tập hợp số hữu tỉ được sử dụng để đo lường các đại lượng vật lý, chẳng hạn như khối lượng, chiều dài và thời gian.

**3. Trong công nghệ**

Tập hợp số hữu tỉ được sử dụng trong tính toán máy tính, xử lý tín hiệu và các ứng dụng kỹ thuật khác.

**V. Kết luận**

Tập hợp số hữu tỉ là một cấu trúc toán học quan trọng được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống. Nó có tính đóng, tính trù mật và tính tuần hoàn, khiến nó trở nên hữu ích trong việc mô hình hóa và giải quyết các vấn đề thực tế.